Открытый урок на тему «ПРОСТЕЙШИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»

Разработчик: Злобич Людмила Игоревна, преподаватель.

Методическая разработка урока преподавателя Злобич Людмилы Игоревны посвящена теме «Простейшие логарифмические уравнения». Материал может быть использован в практической деятельности преподавателей математики СПО (1 курс).

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у обучающихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Поэтому ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приёмов, которые активизировали бы мысль обучающихся, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Теме «Простейшие логарифмические уравнения» согласно календарно-тематическому планированию (КТП) отведено два урока. Они посвящены простейшим видам логарифмических уравнений и способам их решения.

Данная тема является сложной для понимания, т. к. для успешного решения логарифмических уравнений требуется много математических знаний, пройденных ранее. И от того, как подан материал обучающимся, зависит способность решать простейшие и более сложные логарифмические уравнения.

Возникновение интереса к математике у значительного числа обучающихся зависит в большей степени от методики её преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа, как показано применение математики в реальном мире, созданная преподавателем «ситуация успеха».

Изучению уравнений в программе общеобразовательной учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» отводится особое место – линия уравнений и неравенств, как одна из основных содержательных линий курса алгебры.

В выпускном экзамене даются задания на решение уравнений, в том числе и логарифмических.

Урок «Простейшие логарифмические уравнения» содержит новую информацию, которая требует внимания и активности со стороны обучающихся. Беседа и работа с практическими заданиями помогут лучше усвоить тему. В ходе урока необходимо:

• содействовать формированию понятия простейшего логарифмического уравнения;
• создать необходимые условия для изучения приемов решения простейших логарифмических уравнений;
• развивать вычислительную культуру студентов.

После изучения темы обучающийся должен знать:

• что называется простейшим логарифмическим уравнением;
• способы решения логарифмических уравнений.

После изучения темы обучающийся должен прийти к следующим результатам:

личностным:

Уметь

• предоставить каждому обучающемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень;
• проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности;
• стимулировать способность иметь собственное мнение;
• сделать учёбу интересной, полезной и увлекательной;
• приобрести более широкое представление об изучаемом предмете, чем это необходимо для сдачи экзамена;
• заинтересоваться тем, что сейчас происходит в мире.

метапредметным:

Уметь

• определять и формулировать цель на уроке с помощью преподавателя;
• проговаривать последовательность действий на уроке;
• работать по коллективно составленному плану;
• планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей.

Уметь

• оформлять свои мысли в устной форме;
• слушать и понимать речь других;
• совместно договариваться о правилах поведения и общения в техникуме и следовать им  (Коммуникативные УУД).

Уметь

• ориентироваться в своей системе знаний;
• отличать новое от уже известного с помощью преподавателя;
• добывать новые знания;
• находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД).

предметным:

• уметь оперировать имеющимся потенциалом знаний по теме логарифмические уравнения;
• уметь выделять логарифмические уравнения;
• уметь находить методы и способы решения логарифмического уравнения;
• овладеть способами решения логарифмических уравнений от простого – к сложному.

Умения:

— интеллектуальные (анализ, синтез, классификация) с помощью различных источников информации;

— оценочные (рефлексия);

— практические (создание схем);

— общеучебные (оформление рабочей тетради);

— коммуникативные (вхождение в диалог, отстаивание своих взглядов, принятие позиций других).

Знания:

З1. Понятие логарифма и свойства логарифмов; уравнение, корень уравнения, ОДЗ уравнения, проверка корней уравнения.
З5. Логарифмические уравнение, корень уравнения, ОДЗ уравнения, проверка корней уравнения.

Общие компетенции:

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с обучающимися группы, руководством.

Образовательные ресурсы:

• Башмаков М.И. Математика: учебник для студентов среднего профессионального образования. 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2019. – Текст: непосредственный.
• Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 10 класс. — М.,2014. – Текст: непосредственный.
• Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. – Текст: непосредственный.

УРОК
Тема: ПРОСТЕЙШИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: формирование основных приёмов решения простейших логарифмических уравнений.(слайд 2);

Задачи:

Образовательные:

1) Повторение понятия логарифма числа, свойств логарифмов и области определения логарифмической функции.

2) Изучение основных способов решения простейших логарифмических уравнений.

3) Предоставление каждому обучающемуся возможности проверить свои знания и повысить их уровень.

4) Развитие культуры вычислительной техники.

5) Активизация работы обучающихся через разные формы работы.

Развивающие:

1) Развитие математической речи. 

2) Развитие навыков самоконтроля.

3) Развитие логического мышления: способности к анализу информации и аргументированному, логически выстроенному доказательству своих выводов.
4) Способствовать развитию математического кругозора, математического мышления.

Воспитательные:

1) Повышение коммуникативной активности обучающихся, их эмоциональной включенности в учебный процесс.

2) Создание благоприятных условий для проявления индивидуальности.

3) Воспитание ответственного отношения к труду, воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

4) Создание эмоционально-положительного комфорта (ситуацию успеха).

Оборудование: учебник, ноутбук, мультимедийный проектор, авторская презентация, опорный конспект урока.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Вид урока: урок-лекция с использованием мультимедиа.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.

Формы обучения: индивидуальная, фронтальная.

Структура урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Изучение нового материала

4. Закрепление новых знаний и умений.

5. Итоги урока. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ(слайд 2).

Зачитать эпиграф

«Уравнение – это золотой ключ,

открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

(Семён Фёдорович Коваль)

Преподаватель: Вспомним, что такое сезамы?

Предполагаемый ответ: В сказках слышали.

Преподаватель: Да, в арабских сказках мы помним фразу: «Сезам, откройся!». Это заклинание, силою которого мгновенно раскрывалась тайная сокровищница. На этом уроке нам откроются «двери» в мир логарифмических уравнений.

Давайте будем на уроке активными, внимательными! Знания, полученные на этом уроке, нам понадобятся для успешного выполнения контрольной работы, а в дальнейшем и успешной сдачи экзамена. И я хочу вам в этом помочь!

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ

Повторение.

Преподаватель: Вспомните тему предыдущего урока.

Предполагаемый ответ: Логарифмы и их свойства.

1.Разминка по теории:

Преподаватель:

1.Что такое логарифм числа? (одновременно с ответом слайд 3)

2. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд 4-5)

2.Фронтальный опрос класса (устные упражнения)

Вычислить: (слайд № 6-10)

log5625 log1/264 log7 (1/49)

log159 + log 1525 log3162 — log52

Преподаватель: Сегодня мы с вами вернёмся в мир математических уравнений. Какие виды уравнений вы знаете?

 Предполагаемый ответ:

1) линейные уравнения,

2) квадратные уравнения,

3) уравнения, приводимые к квадратным,

4) тригонометрические уравнения,

5) иррациональные уравнения,

6) показательные уравнения.

Преподаватель: Как вы думаете, с каким видом уравнений мы сегодня познакомимся? Подумайте, какая тема урока будет у нас сегодня?

Предполагаемый ответ: «Простейшие логарифмические уравнения». (слайд 11)

Преподаватель: Правильно! Мы познакомимся с новым для вас видом уравнений – логарифмическим и способами их решения.

На этом уроке мы рассмотрим с вами простейшие логарифмические уравнения и способы их решения. Сегодня мы научимся решать самые простые логарифмические уравнения, где не требуются сложные преобразования. Если научиться решать такие уравнения, дальше будет намного проще.

Прежде чем приступить к изучению логарифмических уравнений, вспомним, что значит решить уравнение?

Предполагаемый ответ: Решить уравнение – означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Преподаватель: Верно!

III. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Изучение нового материала начинаю с сообщения новой темы и предлагаю учащимся самим сформулировать цели нашего урока.(слайд 12) В старших классах ученики сами правильно могут поставить перед собой цели.

Запишем в опорном конспекте! (слайд 13)

Способы решения логарифмических уравнений: (слайд 14)

1. Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд 15)

log_a х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,
• по данному логарифму и основанию определяется число,
• по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log₂ 128= х, log₁₆х = ¾, log_х 27= 3,

2^х= 128, х =16 ^¾ , х³ =27,

2^х = 2⁷, х =2 ³ , х³ = 3³ ,

х =7 . х = 8. х =3.

2. Метод потенцирования. (слайд 16-17)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение =

ОДЗ:

3х-1>0; х>1/3

6х+8>0.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 >1/3 — неверно

Ответ: решений нет.

3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №18)

Пример:

Решите уравнение =log₂(6-х)

ОДЗ:

6-х>0;

х>0;

х≠1;

log₂х²>0;

х²>0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log₂(6-х)

х² = 6-х

х²+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

4. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 19)

Пример:

Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х>0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

log₂х (¼+½+1)=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

5. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 20)

Пример:

Решите уравнение log₂ (х +1) — log₂ (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0. х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log₂ = 2, откуда следует = 4.

— =0

=0

=0

х-2≠0

-3х+9=0

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 — верно

Ответ: х = 3.

6. Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 21)

Пример:

Решите уравнение lg²х — 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

7. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)

Пример:

Решите уравнение log₄(2х-1)∙ log₄х=2 log₄(2х-1)

ОДЗ:

2х-1>0;

х >0. х>½.

log₄(2х-1)∙ log₄х — 2 log₄(2х-1)=0

log₄(2х-1)∙(log₄х-2)=0

log₄(2х-1)=0 или log₄х-2=0

2х-1=1 log₄х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ НОВЫХ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ.

Рассмотрим на конкретных примерах решение простейших логарифмических уравнений. (с записью в тетрадь)

Пример 1. Решить уравнение

log ₅(4 + x) = 2

Как вы предлагаете его решать?

Предполагаемый ответ: По определению логарифма.

Преподаватель: Верно! Первым нашим действием будет нахождение ОДЗ.

Решение.

ОДЗ: 4 + x ≠ 0

х ≠ – 4

Вторым действием решим данное уравнение на основании определения логарифма.

5² = 4 + x

x = 25 – 4

x = 21

Число 21 удовлетворяет ОДЗ (21 ≠ – 4), значит 21 – корень исходного уравнения. Запишем ответ: х = 21.

Пример 2. Решить уравнение

log₅(2x + 3) = log₅(x + 1)

Преподаватель: Какую особенность вы заметили? 

Предполагаемый ответ: Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны.

Преподаватель: Верно! Каким способом будем решать данное уравнение? 

Предполагаемый ответ: Способом потенцирования.

Преподаватель: Приступим к решению.

log₅(2x + 3) = log₅(x + 1)

2x + 3 = x + 1

x = – 2.

Сделаем проверку:

log₅(2·(– 2)+ 3) = log₅(– 2+ 1).

Получаем, что

log₅(–1) = log₅(–1)

С одной стороны, имеем верное равенство, но под знаком логарифма получили число «– 1», какой вывод можем сделать?

Предполагаемый ответ: Под знаком логарифма получили отрицательное число. Но мы знаем, что под знаком логарифма могут стоять только положительные числа.

Преподаватель: Да, так как область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел, то x = – 2 не является корнем данного уравнения. И в ответе запишем, что корней нет.

Пример 3. Решить уравнение

log₄(х+3) = log₄(4x – 15)

Каким способом будем решать данное уравнение? 

Предполагаемый ответ: Способом потенцирования.

Преподаватель: Правильно!

Обучающийся: Решение.

х+3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Делаем проверку:

log₄(6+3) = log₄(4·6 – 15)

log₄9 = log₄9

Получаем верное числовое равенство и под знаком логарифма – положительное число. Поэтому x = 6 является корнем данного уравнения и записываем ответ.

Преподаватель: Замечательно!

V. ИТОГИ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

Беседа с обучающимися:

— достигли ли мы цели сегодняшнего урока;

— все ли им понятно в решении логарифмических уравнений;

— что непонятно и какие комментарии по уроку.

Выставление оценок с комментариями.

VI. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

п.6.2 с.168-169 №6.10-6.15(а, б, в).

ЛИСТ РЕФЛЕКСИИ

Ф. И. студента ___________________________________________________

Что нового Вы узнали_________________________________________________

__________________________________________________________________

№ п/п	Вопрос	Ответ (+;-)
1	Сделайте вывод: все ли задачи, поставленные в начале урока, мы с вами реализовали?
2	Поняли ли вы тему урока?
3	Как вы оцениваете полученные сегодня знания (глубокие, осознанные, предстоит осознать, неосознанные)?
4	Смогли ли вы выполнить самостоятельно задания
5	Требовалась ли вам помощь: а) преподавателя
б) соседа по парте?