Открытый урок на тему «ПРОСТЕЙШИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»
Разработчик: Злобич Людмила Игоревна, преподаватель.
Методическая разработка урока преподавателя Злобич Людмилы Игоревны посвящена теме «Простейшие логарифмические уравнения». Материал может быть использован в практической деятельности преподавателей математики СПО (1 курс).
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у обучающихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Поэтому ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приёмов, которые активизировали бы мысль обучающихся, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Теме «Простейшие логарифмические уравнения» согласно календарно-тематическому планированию (КТП) отведено два урока. Они посвящены простейшим видам логарифмических уравнений и способам их решения.
Данная тема является сложной для понимания, т. к. для успешного решения логарифмических уравнений требуется много математических знаний, пройденных ранее. И от того, как подан материал обучающимся, зависит способность решать простейшие и более сложные логарифмические уравнения.
Возникновение интереса к математике у значительного числа обучающихся зависит в большей степени от методики её преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа, как показано применение математики в реальном мире, созданная преподавателем «ситуация успеха».
Изучению уравнений в программе общеобразовательной учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» отводится особое место – линия уравнений и неравенств, как одна из основных содержательных линий курса алгебры.
В выпускном экзамене даются задания на решение уравнений, в том числе и логарифмических.
Урок «Простейшие логарифмические уравнения» содержит новую информацию, которая требует внимания и активности со стороны обучающихся. Беседа и работа с практическими заданиями помогут лучше усвоить тему. В ходе урока необходимо:
- содействовать формированию понятия простейшего логарифмического уравнения;
- создать необходимые условия для изучения приемов решения простейших логарифмических уравнений;
- развивать вычислительную культуру студентов.
После изучения темы обучающийся должен знать:
- что называется простейшим логарифмическим уравнением;
- способы решения логарифмических уравнений.
После изучения темы обучающийся должен прийти к следующим результатам:
личностным:
Уметь
- предоставить каждому обучающемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень;
- проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности;
- стимулировать способность иметь собственное мнение;
- сделать учёбу интересной, полезной и увлекательной;
- приобрести более широкое представление об изучаемом предмете, чем это необходимо для сдачи экзамена;
- заинтересоваться тем, что сейчас происходит в мире.
метапредметным:
Уметь
- определять и формулировать цель на уроке с помощью преподавателя;
- проговаривать последовательность действий на уроке;
- работать по коллективно составленному плану;
- планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей.
Уметь
- оформлять свои мысли в устной форме;
- слушать и понимать речь других;
- совместно договариваться о правилах поведения и общения в техникуме и следовать им (Коммуникативные УУД).
Уметь
- ориентироваться в своей системе знаний;
- отличать новое от уже известного с помощью преподавателя;
- добывать новые знания;
- находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД).
предметным:
- уметь оперировать имеющимся потенциалом знаний по теме логарифмические уравнения;
- уметь выделять логарифмические уравнения;
- уметь находить методы и способы решения логарифмического уравнения;
- овладеть способами решения логарифмических уравнений от простого – к сложному.
Умения:
— интеллектуальные (анализ, синтез, классификация) с помощью различных источников информации;
— оценочные (рефлексия);
— практические (создание схем);
— общеучебные (оформление рабочей тетради);
— коммуникативные (вхождение в диалог, отстаивание своих взглядов, принятие позиций других).
Знания:
З1. Понятие логарифма и свойства логарифмов; уравнение, корень уравнения, ОДЗ уравнения, проверка корней уравнения.
З5. Логарифмические уравнение, корень уравнения, ОДЗ уравнения, проверка корней уравнения.
Общие компетенции:
ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.
ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.
ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с обучающимися группы, руководством.
Образовательные ресурсы:
- Башмаков М.И. Математика: учебник для студентов среднего профессионального образования. 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2019. – Текст: непосредственный.
- Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 10 класс. — М.,2014. – Текст: непосредственный.
- Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. – Текст: непосредственный.
УРОК
Тема: ПРОСТЕЙШИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Цель: формирование основных приёмов решения простейших логарифмических уравнений.(слайд 2);
Задачи:
Образовательные:
1) Повторение понятия логарифма числа, свойств логарифмов и области определения логарифмической функции.
2) Изучение основных способов решения простейших логарифмических уравнений.
3) Предоставление каждому обучающемуся возможности проверить свои знания и повысить их уровень.
4) Развитие культуры вычислительной техники.
5) Активизация работы обучающихся через разные формы работы.
Развивающие:
1) Развитие математической речи.
2) Развитие навыков самоконтроля.
3) Развитие логического мышления: способности к анализу информации и аргументированному, логически выстроенному доказательству своих выводов.
4) Способствовать развитию математического кругозора, математического мышления.
Воспитательные:
1) Повышение коммуникативной активности обучающихся, их эмоциональной включенности в учебный процесс.
2) Создание благоприятных условий для проявления индивидуальности.
3) Воспитание ответственного отношения к труду, воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
4) Создание эмоционально-положительного комфорта (ситуацию успеха).
Оборудование: учебник, ноутбук, мультимедийный проектор, авторская презентация, опорный конспект урока.
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Вид урока: урок-лекция с использованием мультимедиа.
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.
Формы обучения: индивидуальная, фронтальная.
Структура урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала
4. Закрепление новых знаний и умений.
5. Итоги урока. Рефлексия.
6. Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ(слайд 2).
Зачитать эпиграф
«Уравнение – это золотой ключ,
открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль
(Семён Фёдорович Коваль)
Преподаватель: Вспомним, что такое сезамы?
Предполагаемый ответ: В сказках слышали.
Преподаватель: Да, в арабских сказках мы помним фразу: «Сезам, откройся!». Это заклинание, силою которого мгновенно раскрывалась тайная сокровищница. На этом уроке нам откроются «двери» в мир логарифмических уравнений.
Давайте будем на уроке активными, внимательными! Знания, полученные на этом уроке, нам понадобятся для успешного выполнения контрольной работы, а в дальнейшем и успешной сдачи экзамена. И я хочу вам в этом помочь!
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ
Повторение.
Преподаватель: Вспомните тему предыдущего урока.
Предполагаемый ответ: Логарифмы и их свойства.
1.Разминка по теории:
Преподаватель:
1.Что такое логарифм числа? (одновременно с ответом слайд 3)
2. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд 4-5)
2.Фронтальный опрос класса (устные упражнения)
Вычислить: (слайд № 6-10)
| log5625 log1/264 log7 (1/49) | log159 + log 1525 log3162 — log52 |
Преподаватель: Сегодня мы с вами вернёмся в мир математических уравнений. Какие виды уравнений вы знаете?
Предполагаемый ответ:
1) линейные уравнения,
2) квадратные уравнения,
3) уравнения, приводимые к квадратным,
4) тригонометрические уравнения,
5) иррациональные уравнения,
6) показательные уравнения.
Преподаватель: Как вы думаете, с каким видом уравнений мы сегодня познакомимся? Подумайте, какая тема урока будет у нас сегодня?
Предполагаемый ответ: «Простейшие логарифмические уравнения». (слайд 11)
Преподаватель: Правильно! Мы познакомимся с новым для вас видом уравнений – логарифмическим и способами их решения.
На этом уроке мы рассмотрим с вами простейшие логарифмические уравнения и способы их решения. Сегодня мы научимся решать самые простые логарифмические уравнения, где не требуются сложные преобразования. Если научиться решать такие уравнения, дальше будет намного проще.
Прежде чем приступить к изучению логарифмических уравнений, вспомним, что значит решить уравнение?
Предполагаемый ответ: Решить уравнение – означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
Преподаватель: Верно!
III. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
Изучение нового материала начинаю с сообщения новой темы и предлагаю учащимся самим сформулировать цели нашего урока.(слайд 12) В старших классах ученики сами правильно могут поставить перед собой цели.
Запишем в опорном конспекте! (слайд 13)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд 14)
- Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд 15)
loga х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = ас.
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:
- по данным основаниям и числу определяется логарифм,
- по данному логарифму и основанию определяется число,
- по данному числу и логарифму определяется основание.
Примеры:
log2 128= х, log16х = ¾, logх 27= 3,
2х= 128, х =16 ¾ , х3 =27,
2х = 27, х =2 3 , х3 = 33 ,
х =7 . х = 8. х =3.
- Метод потенцирования. (слайд 16-17)
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.
loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.
Пример:
Решите уравнение =
ОДЗ:
3х-1>0; х>1/3
6х+8>0.
3х-1=6х+8
-3х=9
х=-3
-3 >1/3 — неверно
Ответ: решений нет.
- Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №18)
Пример:
Решите уравнение =log2(6-х)
ОДЗ:
6-х>0;
х>0;
х≠1;
log2х2>0;
х2>0.
Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).
= log2(6-х)
х2 = 6-х
х2+х-6=0
х=-3 не принадлежит ОДЗ.
х=2 принадлежит ОДЗ.
Ответ: х=2
- Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 19)
Пример:
Решите уравнение log16х+ log4х+ log2х=7
ОДЗ: х>0
¼ log2х+½ log2х+ log2х=7
log2х (¼+½+1)=7
7/4 log2х=7
log2х=4
х=16 – принадлежит ОДЗ.
Ответ: х=16.
- Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 20)
Пример:
Решите уравнение log2 (х +1) — log2 (х -2 ) = 2.
ОДЗ:
х+1>0;
х-2>0. х>1.
Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log2 = 2, откуда следует = 4.
— =0
=0
=0
х-2≠0
-3х+9=0
Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 — верно
Ответ: х = 3.
- Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 21)
Пример:
Решите уравнение lg2х — 6lgх+5 = 0.
ОДЗ: х>0.
Пусть lgх = р, тогда р2-6р+5=0.
р1=1, р2=5.
Возвращаемся к замене:
lgх = 1, lgх =5
х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно
Ответ: 10, 100000
- Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)
Пример:
Решите уравнение log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)
ОДЗ:
2х-1>0;
х >0. х>½.
log4(2х-1)∙ log4х — 2 log4(2х-1)=0
log4(2х-1)∙(log4х-2)=0
log4(2х-1)=0 или log4х-2=0
2х-1=1 log4х = 2
х=1 х=16
1;16 – принадлежат ОДЗ
Ответ: 1;16
- ЗАКРЕПЛЕНИЕ НОВЫХ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ.
Рассмотрим на конкретных примерах решение простейших логарифмических уравнений. (с записью в тетрадь)
Пример 1. Решить уравнение
log 5(4 + x) = 2
Как вы предлагаете его решать?
Предполагаемый ответ: По определению логарифма.
Преподаватель: Верно! Первым нашим действием будет нахождение ОДЗ.
Решение.
ОДЗ: 4 + x ≠ 0
х ≠ – 4
Вторым действием решим данное уравнение на основании определения логарифма.
52 = 4 + x
x = 25 – 4
x = 21
Число 21 удовлетворяет ОДЗ (21 ≠ – 4), значит 21 – корень исходного уравнения. Запишем ответ: х = 21.
Пример 2. Решить уравнение
log5(2x + 3) = log5(x + 1)
Преподаватель: Какую особенность вы заметили?
Предполагаемый ответ: Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны.
Преподаватель: Верно! Каким способом будем решать данное уравнение?
Предполагаемый ответ: Способом потенцирования.
Преподаватель: Приступим к решению.
log5(2x + 3) = log5(x + 1)
2x + 3 = x + 1
x = – 2.
Сделаем проверку:
log5(2·(– 2)+ 3) = log5(– 2+ 1).
Получаем, что
log5(–1) = log5(–1)
С одной стороны, имеем верное равенство, но под знаком логарифма получили число «– 1», какой вывод можем сделать?
Предполагаемый ответ: Под знаком логарифма получили отрицательное число. Но мы знаем, что под знаком логарифма могут стоять только положительные числа.
Преподаватель: Да, так как область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел, то x = – 2 не является корнем данного уравнения. И в ответе запишем, что корней нет.
Пример 3. Решить уравнение
log4(х+3) = log4(4x – 15)
Каким способом будем решать данное уравнение?
Предполагаемый ответ: Способом потенцирования.
Преподаватель: Правильно!
Обучающийся: Решение.
х+3 = 4x – 15
3x = 18
x = 6
Делаем проверку:
log4(6+3) = log4(4·6 – 15)
log49 = log49
Получаем верное числовое равенство и под знаком логарифма – положительное число. Поэтому x = 6 является корнем данного уравнения и записываем ответ.
Преподаватель: Замечательно!
V. ИТОГИ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ
Беседа с обучающимися:
— достигли ли мы цели сегодняшнего урока;
— все ли им понятно в решении логарифмических уравнений;
— что непонятно и какие комментарии по уроку.
Выставление оценок с комментариями.
VI. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
п.6.2 с.168-169 №6.10-6.15(а, б, в).
ЛИСТ РЕФЛЕКСИИ
Ф. И. студента ___________________________________________________
Что нового Вы узнали_________________________________________________
__________________________________________________________________
| № п/п | Вопрос | Ответ (+;-) |
| 1 | Сделайте вывод: все ли задачи, поставленные в начале урока, мы с вами реализовали? | |
| 2 | Поняли ли вы тему урока? | |
| 3 | Как вы оцениваете полученные сегодня знания (глубокие, осознанные, предстоит осознать, неосознанные)? | |
| 4 | Смогли ли вы выполнить самостоятельно задания | |
| 5 | Требовалась ли вам помощь: а) преподавателя | |
| б) соседа по парте? |
